Strona główna » Zadania domowe » Matematyka » Geometria » Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany na trójkącie

Zobacz przykładowe zadanie, sprawdź definicję, powtórka w pigułce. Rozwiązania zadań już wkrótce!

Okrąg opisany na trókącie

Na każdym trójkącie może być opisany okrąg w taki sposób, że wierzchołki tego trójkąta muszą znajdować się na okręgu. Środkiem okręgu jest punkt przecięcia symetralnych. Jest to inaczej trójkąt wpisany w okrąg.

gdzie:

a, b i c – boki trójkąta
α, β i γ – kąty w trójkącie

Promień okręgu opisanego na trójkącie

Wzór na długość promienia okręgu opisanego na dowolnym trójkącie:

gdzie:

a, b i c – boki trójkąta P – pole trójkąta

UWAGA! Można również skorzystać z twierdzenia sinusów.

Twierdzenie to mówi o tym, że w dowolnym trójkącie iloraz wybranego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały.

Iloraz ten jest równy dwukrotności promienia (średnicy) okręgu opisanego na trójkącie. Zatem wzór na promień w okręgu opisanym na trójkącie wynosi:

Okrąg opisany na trójkącie równobocznym

W trójkącie równobocznym symetralne pokrywają się z wysokościami trójkąta. Na ich przecięciu, na 2/3 wysokości trójkąta (licząc od wierzchołka) znajduje się środek okręgu. Zatem długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa 2/3 wysokości trójkąta.

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym

Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest jednocześnie przeciwprostokątną tego trójkąta. Zatem długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa długości połowy przeciwprostokątnej, którą z kolei można wyliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa a² + b²= c².

gdzie:

a – ramiona trójkąta,
b – podstawa trójkąta.

Okrąg opisany na trójkącie równoramiennym

Środkiem okręgu opisanym na trójkącie równoramiennym jest miejsce przecięcia symetralnych trójkąta.

Do obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym możemy zastosować wzór ogólny tj.:

gdzie:

a, b i c – boki trójkąta
P – pole trójkąta

lub gdy znamy wartość kątów:

gdzie:

a – długość dowolnego boku trójkąta
α – kąt naprzeciw boku a

Okrąg opisany na trójkącie - zadanie

Dany jest trójkąt o boku długości 4√19 cm. Kąt naprzeciw tego boku ma miarę 120^o.

Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Przypomnij sobie także:

trójkąt - wzory » trójkąt - dwusieczna kąta » kalasyfikacje trójkątów » konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie » okrąg wpisany w trójkat » okrąg opisany na trójkącie - wzory » jak narysować okrąg opisany na trójkącie » jak opisać okrąg na trójkącie » podobieństwo trójkątów » pole koła opisanego na trójkącie » symetralna boku w trójkącie » środkowa w trójkącie » trójkąt prostokątny » trójkąt równoboczny » trójkąt Pascala » trójkąty przystające » rodzaje trójkątów » własności trójkątów » wysokości w trójkącie » zależności w trójkącie »