Niech [[x \in R]]. Zbadaj przebieg zmienności funkcji [[f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{2})-\frac{1}{2}]] i omów jej własności.
Rozwiązanie
- Narysujemy wykres funkcji [[f(x)]].Zaczniemy od przedstawienia wzoru funkcji [[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]] w nieco innej postaci.
Zauważmy,że
[[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2})-\frac{1}{2} = sin 2(x - \frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}]]
jest to więc funkcja
[[f_1(x) = sin 2x ]]
przesunięta o wektor [[\frac{\pi}{4};-\frac{1}{2}]].
Wykres funkcji [[f_1]] przedstawia poniższy rysunek
Wykres funkcji
[[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]]
powstałej z przesunięcia wykresu funkcji [[f_1(x) = sin 2x]] o wektor [[\frac{\pi}{4};-\frac{1}{2}]] przedstawia więc poniższy rysunek
Teraz z wykresu funkcji odczytamy jej podstawowe własności.
Dziedzina funkcji
Jeżeli mamy daną funkcję [[f:X \to Y]], to liczby należące do [[x]] to argumenty funkcji. Zbiór $X$ nazywamy wtedy dziedziną funkcji.
Dziedziną funkcji [[f(x) = sin(2x-\frac{\pi}{2})-\frac{1}{2}]] jest więc zbiór liczb rzeczywistych [[x\in R]];
Zbiór wartości funkcji
Jeżeli mamy daną funkcję [[f:X \to Y]], to liczby należące do [[Y]] to jej wartości. Zbiór $Y$ nazywamy wtedy zbiorem wartości funkcji.
Z rysunku funkcji [[f(x) = sin(2x-\frac{\pi}{2})-\frac{1}{2}]] odczytujemy,że zbiorem jej wartości jest przedział [[-\frac{3}{2};\frac{1}{2}]];
Miejsca zerowe funkcji
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą. Miejsca zerowe funkcji [[f(x)]] , to rozwiązania równania [[f(x) = 0]]. Geometrycznie miejsca zerowe funkcji to pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osią [[OX]];
Z rysunku nie możemy odczytać miejsc zerowych funkcji [[f(x) = sin(2x-\frac{\pi}{2})-\frac{1}{2}]], więc musimy rozwiązać równanie
[[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} = 0]]
stąd
[[sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}]]
podstawmy teraz w miejsce [[2x - \frac{\pi}{2}]] parametr [[t \in R]]. Mamy wtedy[[sin t = \frac{1}{2}]]
Ponieważ w przedziale [[[0;2\pi]]] powyższe równanie ma dwa rozwiązania postaci
[[t_1 = \frac{\pi}{6}]] oraz [[t_2 = \frac{5\pi}{6}]]
oraz okres funkcji [[f(x) = sin x]] wynosi [[T = 2\pi]], więc rozwiązania równania [[sin t = \frac{1}{2}]] są postaci
[[t_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi]]
oraz
[[t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi]]
stąd ponieważ
[[t = 2x - \frac{\pi}{2}]]
mamy,że
[[2x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi]]
czyli
[[2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi]]
czyli
[[2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi]]
stąd
[[x = \frac{\pi}{3} + k\pi]]
gdzie [[k]] jest dowolna liczbą całkowitą;
oraz
[[2x - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi]]
czyli
[[2x = \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} + 2k\pi]]
więc
[[2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi]]
stąd
[[x = \frac{2\pi}{3} + k\pi]]
gdzie [[k]] jest dowolna liczbą całkowitą;
i funkcja
[[f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]]
posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych postaci
[[...-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}...]]
Monotoniczność funkcji
[[f(x):X \to Y]] jest funkcją rzeczywistą
[[1^0]] rosnącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że
[[f(x_1) \lt f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest rosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji rosną jej wartości;
[[2^0]] malejącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że
[[f(x_1)>f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest malejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji maleją jej wartości;
[[3^0]] stałą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że
[[f(x_1) = f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest stała, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości nie zmieniają się;
[[4^0]] nierosnącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że
[[f(x_1) \geq f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest nierosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości nie zmieniają się lub maleją;
[[5^0]] niemalejącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że
[[f(x_1) \leq f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest niemalejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości nie zmieniają się lub rosną;
Z rysunku odczytujemy,że funkcja [[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]]
-jest malejąca w przedziałach [[(\frac{\pi}{2}+ k\pi; \pi + k\pi)]];
- jest rosnąca w przedziałach [[(k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi)]];
gdzie [[k]] jest dowolna liczbą całkowitą;
Okresowość funkcji
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą. Jeżeli istnieje liczba [[T \in X]] taka, że dla dowolnego [[x \in X]] jest [[x + T \in X]] oraz zachodzi warunek
[[f(x + T) = f(x)]]
to mówimy, że funkcja [[f]] jest okresowa. Liczbę [[T \in X]] nazywamy wtedy okresem funkcji [[f]]. Geometrycznie funkcja jest okresowa jeżeli jej wykres "powtarza się" przedziałami;
Z rysunku odczytujemy, że funkcja [[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]] jest funkcją okresową a jej okres wynosi [[T = \pi]];
Różnowartościowość funkcji
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą. [[f(x):X \to Y]] jest funkcją różnowartościową jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \neq x_2]] wynika, że
[[f(x_1) \neq f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest różnowartościowa jeżeli każda prosta o równaniu [[y = c]], gdzie [[c\in R]], ma co najwyżej jeden punkt wspólny z wykresem funkcji;
Z rysunku odczytujemy, że funkcja [[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]] nie jest różnowartościowa;
Parzystość i nieparzystość funkcji
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą, jeżeli dla dowolnych [[x, -x \in X]] zachodzi warunek
[[f(x) = f(-x)]]
to funkcja [[f]] jest parzysta w zbiorze [[X]]; geometrycznie funkcja jest parzysta jeżeli jej wykres jest symetryczny względem osi [[OY]];
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą, jeżeli dla dowolnych [[x,-x \in X]] zachodzi warunek
[[-f(x) = f(-x)]]
to funkcja [[f]] jest nieparzysta w zbiorze [[X]]; geometrycznie funkcja jest nieparzysta jeżeli jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;
Z rysunku odczytujemy, że funkcja [[f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]] nie jest funkcją parzysta, ani nieparzystą;
